תכנון לינארי – אילוצים ותחום3 יחידות 372 · שיעור 9

מתמטיקה 3 יחידות · שאלון 372

תכנון לינארי – אילוצים ותחום

פרק 2 – תכנון לינארי

1נוסח השאלה

2סעיף א – האילוצים

3סעיף ב – נקודות החיתוך והתחום

4סעיף ג – קודקודי התחום

📄 נוסח השאלה

סעיף א – האילוצים

מספרי מאפים אינם שליליים:

x ≥ 0 , y ≥ 0

לכל היותר 10 מאפים – הסימן ≤ :

x + y ≤ 10

📐 מילים ואי־שוויונות

קמח: x עוגות צריכות x ק"ג, ו־y פשטידות צריכות 3y ק"ג, ויש לכל היותר 18 ק"ג:

x + 3y ≤ 18

📐 מילים ואי־שוויונות

"לכל היותר" , "לא יותר מ־" ← ≤
"לפחות" , "לא פחות מ־" ← ≥

סעיף א – האילוצים · המשך

x + 3y ≤ 18

✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0
x + y ≤ 10
x + 3y ≤ 18

סעיף ב – נקודות החיתוך והתחום

הישר הראשון:

x + y = 10

📐 נקודות החיתוך עם הצירים

נציב x = 0:

0 + y = 10

y = 10

נציב y = 0:

📐 נקודות החיתוך עם הצירים

על ציר ה־y : x = 0
על ציר ה־x : y = 0

סעיף ב – נקודות החיתוך והתחום · המשך

נציב y = 0:

x + 0 = 10

x = 10

הישר השני:

x + 3y = 18

📐 נקודות החיתוך עם הצירים

נציב x = 0:

📐 נקודות החיתוך עם הצירים

על ציר ה־y : x = 0
על ציר ה־x : y = 0

סעיף ב – נקודות החיתוך והתחום · המשך

נציב x = 0:

0 + 3y = 18

y = 6

נציב y = 0:

x + 3 · 0 = 18

x = 18

סעיף ב – נקודות החיתוך והתחום · המשך

x = 18

הצד הנכון: הנקודה (0 , 0) מקיימת 0 ≤ 10 וגם 0 ≤ 18 , ולכן התחום מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון:

✅ פתרון סופי: הישר x + y = 10 עובר דרך (0 , 10) ו־(10 , 0) , הישר x + 3y = 18 דרך (0 , 6) ו־(18 , 0)

סעיף ג – קודקודי התחום

שלושה קודקודים כבר ידועים: ראשית הצירים (0 , 0) , (10 , 0) על ציר ה־x , ו־(0 , 6) על ציר ה־y.

שימו לב: ניקח את הנקודה הנמוכה יותר בכל ציר – (0 , 6) ולא (0 , 10) , ו־(10 , 0) ולא (18 , 0) – כי הנקודה צריכה לקיים את שני האילוצים.

x + 3y = 18 , x + y = 10

📐 מפגש שני ישרים

הקודקוד הרביעי – מפגש שני הישרים. נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

(x + 3y) − (x + y) = 18 − 10

2y = 8

📐 מפגש שני ישרים

פותרים את מערכת שתי המשוואות

סעיף ג – קודקודי התחום · המשך

2y = 8

y = 4

x + y = 10

נציב y = 4:

x + 4 = 10

x = 6

סעיף ג – קודקודי התחום · המשך

x = 6

✅ פתרון סופי: הקודקודים: (0 , 0) , (10 , 0) , (6 , 4) , (0 , 6)

📌 סיכום התשובות

אילוצים

כל מגבלה ← אי־שוויון; תמיד x ≥ 0 , y ≥ 0

לכל היותר / לפחות

≤ / ≥

שרטוט ישר

שתי נקודות חיתוך עם הצירים: x = 0 ואז y = 0

הצד הנכון

מציבים (0 , 0)

קודקודים

מפגשי הישרים (פותרים מערכת) והנקודות על הצירים

בדוגמה

(0 , 0) , (10 , 0) , (6 , 4) , (0 , 6)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא